Tveganje propada
Verjetnost, da izgubite ves igralni proračun, preden dosežete cilj.
Pri stavah z enakim izplačilom tveganje propada sledi formuli propada igralca. Z igralnim proračunom $500, stavami po $10 in ciljem $600 dosežete cilj v približno 57% primerov, v preostalih pa propadete.
Vprašanje
Imate a enotdenarEnotaOsnovni vložek, s katerim dela sistem ali igralec. Progresije so opisane v enotah, zato veljajo pri kateri koli mizi.Preberi v celoti → igralnega proračunadenarIgralni proračunSkupni znesek, namenjen igranju. Upravljanje igralnega proračuna pomeni odločanje, koliko ga tvegati pri posamezni stavi in seansi.Preberi v celoti → in želite doseči a + b enot; po eno enoto stavite na stavo z enakim izplačilomstavaStava z enakim izplačilomRdeče/črno, liho/sodo, visoko/nizko. 18 številk, izplača 1:1.Preberi v celoti → z verjetnostjomatematikaVerjetnostMožnost izida od 0 do 1 oziroma od 0% do 100%. Ena številka: 1/37 = 2,70%.Preberi v celoti → dobitka p = 18/37 in verjetnostjo izgube q = 19/37. Kolikšna je verjetnost, da dosežete cilj, preden dosežete nič? Odgovor so v 1650-ih izpeljali Pascal, Fermat in Huygens in je eden najstarejših rezultatov v verjetnosti.
Formula propada igralca
P(reach target) = (1 − (q/p)ᵃ) / (1 − (q/p)ᵃ⁺ᵇ). Tveganje propadamatematikaTveganje propadaVerjetnost, da pred dosego cilja ali števila vrtljajev izgubite celoten igralni proračun.Preberi v celoti → je ena minus to. Pri q/p = 19/18 ≈ 1,0556 razmerje eksponentno raste s številom enot, zato formula majhne enote strogo kaznuje: več stav kot je potrebnih za dosego cilja, večkrat se na poti plača cestnina v višini 2,70%.
Kako to brati
Manjše enote škodijo. Poskus podvojiti $500 s stavami po $10 uspe v 6% primerov; z eno samo stavo $500 uspe v 48,6% primerov. Drzna igra, z manj in večjimi stavami, poveča verjetnost dosege cilja v igri z negativno pričakovano vrednostjo, ker zmanjša število uporab prednosti hiše. Hkrati poveča variancomatematikaVariancaMera, kako široko so izidi razpršeni okoli pričakovane vrednosti. Visoka pri stavi na eno številko, nizka pri stavah z enakim izplačilom.Preberi v celoti → tega, kar se vam zgodi, in večer hitro konča. Izrek se imenuje »drzna igra je optimalna«, Dubins in Savage pa sta ga dokazala leta 1965.
Kje se je problem začel
Vprašanje je starejše od rulete. Leta 1656 je Pascal Fermatu zastavil uganko: dva igralca mečeta tri kocke in začneta vsak z 12 žetoni; met 11 premakne žeton v eno smer, met 14 v drugo. Oba sta jo rešila, Huygens, ki je zanjo izvedel iz pisma matematika Pierra de Carcavija, pa jo je leta 1657 natisnil kot peti problem prve knjige o verjetnosti z odgovorom in brez dokaza. Enajst je mogoče vreči na 27 načinov, štirinajst pa le na 15, zato se vsak žeton premakne v smer prvega igralca 9-krat od 14; zgornja formula mu ob 12 žetonih vsakemu daje približno 1.157-krat večjo verjetnost, da dobi vse, kot da vse izgubi. Prednost 2,70% je precej manjša, vendar ista formula pokaže, kaj naredi pri številnih stavah.
Prava drzna stava
Aprila 2004 je Ashley Revell, mlad Anglež, prodal skoraj vse, kar je imel, tudi oblačila, in v Plaza v Las Vegasu prinesel $135.300. Po nekaj majhnih stavah je ves znesek enkrat stavil na rdečestavaRdečeStava z enakim izplačilom na 18 rdečih številk. Francosko: rouge.Preberi v celoti →. KroglicaopremaKroglicaMajhna kroglica, pognana po stezi v nasprotni smeri rotorja. Sodobne kroglice so iz ivorina ali teflona, velike 18–21 mm.Preberi v celoti → je pristala na rdeči številki 7 in odšel je z $270.600. Na ruletnem kolesu z dvojno ničloruletno koloNičlaEn sam zeleni žepek, ki ga ne pokrije nobena stava z enakim izplačilom, ducat ali stolpec; vir prednosti hiše. Tudi: ena ničla, 0.Preberi v celoti → je imel ta en vrtljaj verjetnost 47,37% in ga je v povprečju stal $7.121, to je prednost ene stave 5,26%. Če bi cilj razdelil na stave po $10, bi bil skoraj brezupen. Drzna igra stave ne izboljša; čim bolj jo skrajša.
Tveganje propada brez cilja
Če preprosto igrate, dokler ne propadete, ali nehate po N vrtljajih, se vprašanje glasi: »Kolikšna je verjetnost, da se moj igralni proračun v N vrtljajih dotakne ničle?« Za splošni N ni zaprte oblike, vendar to izračunajo simulatorji na tem spletišču: igralni proračun $500 pri stavah po $10 na rdečo v 100 vrtljajih skoraj nikoli ne propade (pod 1%), v 500 vrtljajih propade približno v 9% primerov, v 5.000 pa v približno 95%. Brez pravila za ustavitev se verjetnost približuje 100%, kar je dolgoročna različica prednosti hišematematikaPrednost hišeDelež vsakega vložka, ki ga igralnica povprečno obdrži: pri evropski ruleti 2,70%.Preberi v celoti →.
- p10 −$500
- p25 −$500
- mediana −$500
- p75 +$0
- p90 +$350
Kako dolgo in kako daleč v plus
Dva dodatna klasična rezultata odgovorita na vprašanja, ki jih igralci zares postavljajo. Brez cilja enakomerne stave z enakim izplačilom na evropskem ruletnem kolesu v povprečju trajajo 37 vrtljajev za vsako enoto igralnega proračuna, na ameriškem pa 19, ker vsak vrtljaj v povprečju vzame 1/37 enote (na ameriškem ruletnem kolesu 1/19): 100 enot v povprečju traja 3.700 vrtljajev, čeprav se polovica takih seans konča v 3.134 vrtljajih (glejte Dolžina in strošek seanse). Ne glede na velikost igralnega proračuna je verjetnost, da boste na evropskem ruletnem kolesu kadar koli k enot v plusu, (18/19)ᵏ. To je 95% za eno enoto in 58% za deset, toda noben, še tako velik igralni proračun ne daje enake možnosti, da bi bili kadar koli 13 enot v plusu; na ameriškem ruletnem kolesu je verjetnost (9/10)ᵏ in pri 7 enotah pade pod polovico.
Igralni proračun za možnost pol-pol
Obrnite vprašanje: koliko morate prinesti, da imate vsaj možnost pol-pol za dobitek določenega zneska, preden izgubite vse? Za majhen dobitek ne veliko. Pri večjem potrebni igralni proračun strmo narašča, po določeni točki pa noben ne zadošča, ker tudi neskončen igralni proračun daje manj kot možnost pol-pol, da bi kdaj prišli tako daleč v plus. Taylor (2021) to pove drugače: za možnost pol-pol, da na ameriškem ruletnem kolesu dosežete 100 enot, morate začeti s 94, torej tvegati 94 za dobitek 6. Na evropskem ruletnem kolesu bi potrebovali 88.
Praktični nauk
Odločite se, kaj skušate doseči. Če je cilj določen dobitek, stavite veliko, vendar redko. Če je cilj dolg večer, stavite malo in sprejmite, da bo prednost hiše vzela svojih 2,70% velikega prometa stavdenarPromet stavSkupni znesek, vložen v seansi ali obdobju, pri čemer štejejo ponovno vloženi dobitki. Tudi: handle, action.Preberi v celoti →. Če je cilj oboje, mora nekaj popustiti, navadno cilj.
Formula
Vprašanja
MartingalestrategijaMartingaleProgresija, ki po vsaki izgubi podvoji stavo. V razdelku Strategija je pojasnjeno, kaj naredi in česa ne.Preberi v celoti → ga pri kratkih seansah zniža, pri dolgih pa močno zviša. Enakomerno stavljanjestrategijaStalno stavljanjeStavljanje istega zneska pri vsakem vrtljaju. Osnova, s katero se primerja vsaka progresija.Preberi v celoti → z večjo enoto je pošten način za njegovo znižanje.
Zgornja formula velja za enako izplačilo. Pri stavah z veliko varianco je propad pri majhnih vložkih verjetnejši, cilj pa se dosega bolj sunkovito; uporabite kalkulator.
Vsak korak proti cilju je malo manj verjeten kot vsak korak proti propadu; razmerje se stopnjuje s številom korakov.
Zabava z matematiko
Najprej jih poskusite rešiti sami. Vsaka rešitev je zložena; odprite jo, ko boste pripravljeni.
Imate $100 in želite $1.000, stavite pa le na rdečostavaRdečeStava z enakim izplačilom na 18 rdečih številk. Francosko: rouge.Preberi v celoti →. Prvi načrt: vsakokrat stavite $1. Drugi načrt: stavite vse, kar imate, dokler ne presežete $500, nato pa le toliko, da dosežete $1.000. Kateri načrt je boljši in za koliko?
Pokaži rešitev
Odgovor Drugi načrt, daleč. $1.000 doseže približno v 9,0% primerov, blizu poštenim 10%. Prvi načrt uspe približno 7-krat od 10²².
V pošteni igrimatematikaPoštena igraIgra, pri kateri nobena stran nima prednosti: vsaka stava ima pričakovano vrednost nič.Preberi v celoti → bi iz $100 dosegli $1.000 enkrat od desetih, ne glede na to, kaj bi naredili, saj povprečna vrednost vašega denarja ostane $100.
Prednost hiše vzame 2,70% vsake stave, zato ostanete bliže razmerju ena od desetih, čim manj stavite skupaj. Drugi načrt zadevo odloči v peščici stav: $100 postane $200, $400, $800, nato pa je dovolj $200. Uspe v približno 9,0% primerov. Prvi načrt zahteva tisoče stav, preden se pot konča, prednost hiše, majhna pri vsaki, pa se sešteje v skoraj gotov propad.
To je rezultat Dubinsa in Savagea v najpreprostejši obliki (Epstein, 2013): v igri, ki je naklonjena hiši, stavite toliko, kolikor potrebujete, in čim manjkrat.
Imate $500 in želite $1.000, ustavite pa se takoj, ko ga imate. Izberete eno vrsto stave in jo ponavljate, dokler enkrat ne zmaga ali denarja ne zmanjka. Katera vrsta daje najboljšo možnost?
Pokaži rešitev
Odgovor Ena stava $500 na rdečo: 48,6%. Vsak načrt, ki denar razprši po manjših stavah, je slabši.
Vsak vložek izberite tako, da zadošča ena zmaga: $30 na stavo na eno številkostavaStava na eno številkoEna sama številka, izplača 35:1.Preberi v celoti → dobi $1.050, $60 na deljeno stavostavaDeljena stavaDve sosednji številki, izplača 17:1.Preberi v celoti → dobi $1.020 in tako naprej. Nato preštejte možnost, da vsaj ena stava zmaga, preden denarja zmanjka. Šestnajst stav na eno številko po $30 vse zgreši z možnostjo (36/37)¹⁶ = 64,5%, zato $1.000 dosežejo v 35,5% primerov.
Preglednica prikazuje vsako stavo. Rdeča je najboljša, ker cilj doseže v eni stavi, zato je prednost hiše plačana enkrat, pri $500. Dvojna ulična stavastavaDvojna ulična stavaŠest številk v dveh sosednjih vrstah, izplača 5:1. Francosko: sixain.Preberi v celoti → je druga, ker potrebuje le tri. Ena stava na ducatstavaDucat1–12, 13–24 ali 25–36, izplača 2:1.Preberi v celoti → je najslabša, možnost 12/37; tudi če jo igrate v enotahdenarEnotaOsnovni vložek, s katerim dela sistem ali igralec. Progresije so opisane v enotah, zato veljajo pri kateri koli mizi.Preberi v celoti → po $250, dokler nimate $1.000 ali več, ducat do cilja pride le v 46,4% primerov.
Bollman (2024) sestavi enako preglednico za ameriško ruletno kolo. V njegovi vrstici za ducat je zdrs: pisati bi moralo 12/38 = 31,6%.
stavavložek × število stavmožnost doseči $1.000Stava na eno številko$30 × 1635,5%Deljena stava$60 × 835,9%Ulična stava$90 × 534,5%Kotna stava$125 × 436,7%Dvojna ulična stava$166, $166, $16841,2%Ducat$500 × 132,4%Rdeče$500 × 148,6%Pri vsakem vrtljaju stavite eno enoto na rdečo, pri čemer igralnega proračunadenarIgralni proračunSkupni znesek, namenjen igranju. Upravljanje igralnega proračuna pomeni odločanje, koliko ga tvegati pri posamezni stavi in seansi.Preberi v celoti → nikoli ne zmanjka. Po prvem vrtljaju ste eno enoto v plusu ali eno enoto v minusu. Kolikšna je možnost, da boste kdaj spet natanko na ničli?
Pokaži rešitev
Odgovor 36 od 37, 97,3%. Na ameriškem ruletnem kolesu 36 od 38, 94,7%.
Če prvi vrtljaj zmaga (18-krat od 37), ste eno enoto v plusu in prednost hiše vsako neskončno seanso vleče navzdol, zato prej ali slej znova prečkate ničlo: to je gotovo. Če izgubi (19-krat od 37), morate pridobiti eno enoto in možnost, da ste kdaj eno enoto v plusu, je 18/19 (glejte zgornjo preglednico).
Skupaj: 18/37 + 19/37 × 18/19 = 18/37 + 18/37 = 36/37.
Na splošno je možnost 1 minus razlika med možnostjo zmage in izgube vrtljaja: 1 − 1/37 na evropskem kolesu, 1 − 2/38 na ameriškem. V igri brez ničleruletno koloNičlaEn sam zeleni žepek, ki ga ne pokrije nobena stava z enakim izplačilom, ducat ali stolpec; vir prednosti hiše. Tudi: ena ničla, 0.Preberi v celoti → razlike ni in možnost je 1: rezultat se vedno vrne na ničlo. Epstein (2013) navaja splošno pravilo.
Pascalova naloga iz leta 1656: dva igralca vržeta tri kocke, vsak začne z 12 žetoni. Pri vsakem izidu 11 gre žeton prvemu igralcu, pri vsakem izidu 14 drugi; drugi meti ne štejejo. Kako verjetno je, da prvi igralec dobi vseh 24? In če namesto tega pri vsakem vrtljaju stavite 1 enoto na rdečo proti prijatelju, ki je banka, vsak z 12 enotami, kako verjetno je, da dobite vseh 24?
Pokaži rešitev
Odgovor Prvi igralec zmaga približno 1.157-krat od 1.158. Vi pri stavi na rdeče dobite vseh 24 enot le s približno 34% možnostjo.
Tri kocke dajo 11 na 27 načinov in 14 na 15 načinov, zato gre vsak premaknjeni žeton prvemu igralcu 27-krat od 42, torej 9-krat od 14. Ker obe strani začneta z 12, je možnost, da vzame vse, 1/(1 + r¹²), kjer je r razmerje med možnostjo druge strani in njegovo možnostjo.
Za prvega igralca je r = 5/9 in (5/9)¹² ≈ 0,00086, zato je možnost približno 0,99914: kvote 9¹² proti 5¹² oziroma 282.429.536.481 proti 244.140.625, približno 1.157 proti 1. Huygens je natanko te številke natisnil leta 1657.
Pri rdeči je r = 19/18 zaradi ničle in (19/18)¹² ≈ 1,913: vaša možnost je 1/2,913 ≈ 34,3%. Pri kovancu bi bila 50%. Prednost hiše 2,70% pri vsaki stavi se skozi številne potrebne stave sešteje v 16-točkovno vrzel.
Stripovski predah
Drzna igra je optimalna. Tudi hitro je končana.
Viri
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.
- Carcavi, P. de. Pismo Huygensu z 28. septembra 1656 o problemu, ki ga je Pascal zastavil Fermatu.
- Huygens, C. De Ratiociniis in Ludo Aleae.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Reuters. “Briton bets it all on roulette spin, and wins.”
- Las Vegas Sun. “Man wagers life’s worth.”