Naloga: rojstnodnevno ruletno kolo
Koliko vrtljajev mine, preden se katera številka ponovi? Veliko manj, kot ugiba večina ljudi.
Problem rojstnih dni na ruletnem kolesu s 37 žepkiopremaŽepekEden od 37 oštevilčenih predelkov na rotorju. Tudi: reža, skodelica.Preberi v celoti →: po samo 8 vrtljajih je verjetnost že večja od polovice, da se je katera številka pojavila dvakrat. Igralci ponovitve berejo kot vzorce; so pričakovano vedenje poštenega ruletnega kolesa.
Problem
Zavrtite pošteno evropsko kolo. Koliko vrtljajev mine, preden verjetnostmatematikaVerjetnostMožnost izida od 0 do 1 oziroma od 0% do 100%. Ena številka: 1/37 = 2,70%.Preberi v celoti →, da sta vsaj dva vrtljaja pokazala isto številko, preseže polovico? Večina igralcev ugiba nekje okoli 18 ali 19, polovico od 37. Odgovor je 8.
Rešitev
Izračunajte verjetnost, da ni ponovitve, in jo odštejte od ena. Po k vrtljajih je p(vsi različni) = (37/37)(36/37)(35/37)…((38 − k)/37). Za k = 8: 1 × 0,973 × 0,946 × 0,919 × 0,892 × 0,865 × 0,838 × 0,811 ≈ 0,44, torej p(katera koli ponovitev) ≈ 0,56. Za k = 14 je 0,93; za k = 20 pa 0,996. Intuicija odpove, ker število parov vrtljajev raste kot k² in se lahko ujema kateri koli par.
Zakaj je to pomembno za mizo
Tabla rezultatov zadnjih 20 številk bo skoraj vedno pokazala vsaj eno ponovitev, pogosto dve ali tri. Igralci vidijo »17 je prišla dvakrat v desetih vrtljajih« in sklepajo, da je 17 vroča; računica rojstnih dni pravi, da se ponovitev v desetih vrtljajih zgodi v 74% primerov, ponovljena številka pa je naključna. Vzorec je resničen; pomen ni.
Nadaljnji problem
Koliko vrtljajev mine, preden se določena številka, denimo 17, pojavi dvakrat? To je drugo vprašanje z veliko večjim odgovorom: pričakovano čakanje je 74 vrtljajev, verjetnost dveh številk 17 v 20 vrtljajih pa je približno 10%. Razlika med »ponovi se katera koli številka« (8 vrtljajev) in »ponovi se ta številka« (74 vrtljajev) je vsa razlika med vzorcem, ki ga opazite pozneje, in napovedjo, ki jo naredite vnaprej.
Poskusite
Desetkrat zaženite predstavitveno igro in si oglejte zgodovino. Navadno bo prišlo do ponovitve. Zaženite jo znova. Ponovljena številka bo drugačna. To naredite desetkrat in videli ste problem rojstnih dnimatematikaRojstnodnevni problemKoliko ljudi je potrebnih, preden si dva verjetno delita rojstni dan, oziroma koliko vrtljajev pred verjetno ponovitvijo številke. Na ruletnem kolesu s 37 žepki je za možnost nad polovico dovolj 8 vrtljajev.Preberi v celoti →; naredite tisočkrat (simulatorji zmorejo) in ga boste izmerili.
Formula
Vprašanja
Natanko, z 37 žepki namesto 365 dni. Pri rojstnih dnevih 23 ljudi pomeni 50%; pri ruletnem kolesu 8 vrtljajev pomeni 56%.
50% po približno 19 vrtljajih. Še vedno običajno.
Ne. Tisoči vrtljajev z enega ruletnega kolesa bi jo nakazovali; ena sama ponovitev je nikoli ne nakazuje.
Zabava z matematiko
Najprej jih poskusite rešiti sami. Vsaka rešitev je zložena; odprite jo, ko boste pripravljeni.
Preglednica rezultatov ob ameriškem ruletnem kolesu kaže zadnjih 16 vrtljajev. Kako verjetno je, da se na njej nobena številka ne pojavi dvakrat?
Pokaži rešitev
Odgovor Približno 2,5%: približno 39 preglednic od 40 pokaže vsaj eno ponovitev.
Pojdite vrtljaj za vrtljajem. Prvi je lahko kar koli. Drugi se mu mora izogniti: 37 možnosti od 38. Tretji se mora izogniti obema: 36 od 38. Šestnajsti se mora izogniti petnajstim številkam: 23 od 38.
Pomnožite: 38/38 × 37/38 × 36/38 × … × 23/38 ≈ 0,0246.
Preglednica brez ponovitve je redka. Preglednica s ponovitvijo ne pove ničesar o ruletnem kolesu.
Kolikšna je pri desetih vrtljajih evropskega ruletnega kolesa verjetnost, da se 17 pojavi natanko petkrat? Da se katera koli številka pojavi petkrat ali več? In da se katera koli številka v štirih vrtljajih pojavi vsaj trikrat?
Pokaži rešitev
Odgovor 17 natanko petkrat: 1 od 315.576. Katera koli številka petkrat ali več: približno 1 od 8.333. Katera koli številka vsaj trikrat v štirih vrtljajih: 1 od 349.
17 natanko petkrat: izberite, pri katerih petih od desetih vrtljajev se pojavi; možnosti je 252, vsaka z verjetnostjo (1/37)⁵ × (36/37)⁵. Skupaj je verjetnost 1 od 315.576.
Neka številka: vsaka od 37 številk ima verjetnost 1 od 308.325 za pet ali več zadetkov, kar da 37 od 308.325 oziroma 1 od 8.333. Redki primer, ko ima po pet zadetkov dvoje številk, je preštet dvakrat, vendar njegova odstranitev pri tej natančnosti ničesar ne spremeni.
Trikrat v štirih vrtljajih: za eno številko je med 37⁴ možnimi izidi 4 × 36 + 1 = 145; za katero koli od 37 številk je 145/37³ = 1 od 349.
Za kolo z dvojno ničloruletno koloNičlaEn sam zeleni žepek, ki ga ne pokrije nobena stava z enakim izplačilom, ducat ali stolpec; vir prednosti hiše. Tudi: ena ničla, 0.Preberi v celoti → so ustrezne vrednosti 1 od 359.275, 1 od 9.243 in 1 od 368. Razlika med »17« in »neka številka« je spet problem rojstnih dnimatematikaRojstnodnevni problemKoliko ljudi je potrebnih, preden si dva verjetno delita rojstni dan, oziroma koliko vrtljajev pred verjetno ponovitvijo številke. Na ruletnem kolesu s 37 žepki je za možnost nad polovico dovolj 8 vrtljajev.Preberi v celoti →: preseneti nas lahko na 37 načinov.
Stripovski predah
Nekaj se ponovi zgodaj. Tisto nekaj je naključno.
Viri
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Wizard of Odds. “Ask the Wizard”, vprašanja o ruleti.