Zmota igralca
Prepričanje, da je izid »na vrsti«, ker se že nekaj časa ni pojavil.
Po desetih rdečih je verjetnost črne še vedno 18/37. Ruletno kolo ne vodi evidence in ničesar ne dolguje.
Zmota
Če je rdečestavaRdečeStava z enakim izplačilom na 18 rdečih številk. Francosko: rouge.Preberi v celoti → prišlo desetkrat, mnogi igralci čutijo, da je črnastavaČrnaStava z enakim izplačilom na 18 črnih številk. Francosko: noir.Preberi v celoti → »na vrsti«, in temu primerno stavijo. Drugi čutijo, da je rdeča »vroča«, in stavijo nanjo. Oboji iz zaporedja, ki se je že končalo, sklepajo o vrtljaju, ki se še ni zgodil. KroglicaopremaKroglicaMajhna kroglica, pognana po stezi v nasprotni smeri rotorja. Sodobne kroglice so iz ivorina ali teflona, velike 18–21 mm.Preberi v celoti → ne ve, kakšnih je bilo zadnjih deset vrtljajev; žepkiopremaŽepekEden od 37 oštevilčenih predelkov na rotorju. Tudi: reža, skodelica.Preberi v celoti → so enako veliki kot pred eno uro; verjetnostmatematikaVerjetnostMožnost izida od 0 do 1 oziroma od 0% do 100%. Ena številka: 1/37 = 2,70%.Preberi v celoti → črne je, kot je vedno bila, 18/37.
Zakaj se zdi resnično
Dolgoročno se deleža rdeče in črne res približata vsak po 18/37. To zagotavlja zakon velikih številmatematikaZakon velikih številPovprečje neodvisnih izidov se z rastjo števila poskusov približuje pričakovani vrednosti.Preberi v celoti →. Toda približevanje poteka z razredčenjem, ne s popravljanjem: po dodatnih 1.000 vrtljajih je deset dodatnih rdečih zaokrožitvena napaka v deležu, ne zato, ker bi črna dohitela rdečo, temveč zato, ker je vzorec zrasel. Ni mehanizma, zaradi katerega bi bila črna verjetnejša, zakon velikih števil pa ga ne zahteva.
Monte Carlo, 18. avgust 1913
Črna je pri mizi v Casino de Monte-Carlo prišla 26-krat zapored. Približno od petnajste črne so igralci množično stavili na rdečo, podvajali in znova podvajali, vsak vrtljaj pa je bil »gotovejši« od prejšnjega. Igralnica je dobila milijone frankov. Niz je imel od prve črne verjetnost 1 proti 137 milijonom, verjetnost, da bi se sčasoma zgodil v kateri od igralnic po svetu, pa je bila praktično ena. Zato se zmota igralca imenuje tudi zmota Monte Carla.
Nič posebnega. Zgodi se enkrat na 44 primerov.
Igralci začnejo opažati. Rdeča je »na vrsti«.
Miza je polna. Vložki na rdečo se po vsaki izgubi podvojijo.
Premoženja so izgubljena. Vsaka nova črna daje občutek, da je rdeča gotovejša.
Niz se konča. Igralnica je od ljudi, ki so stavili proti nizu, ki ni mogel »vedeti«, da je niz, dobila milijone frankov.
Vroča roka
Staviti na barvo zato, ker je v nizu, je ista napaka obrnjena na glavo: pričakuje se, da se bo niz nadaljeval namesto končal. Psihologi temu pravijo vroča rokamitVroča rokaPrepričanje, da niz zmag ali enega izida naredi drugega verjetnejšega. Pri ruletnem kolesu gre za obrnjeno zmoto igralca.Preberi v celoti → po raziskavi Gilovicha, Valloneja in Tverskyja iz leta 1985, ki je iskala nize pri metih v košarki in ni našla ničesar razen naključja. Miller in Sanjurjo sta leta 2018 pokazala, da je bil sam preskus pristranski: v kratkem zapisu je delež zadetkov takoj po zadetku v povprečju nižji od igralčeve skupne stopnje, zato je igralec brez vroče roke videti malo hladen. Po popravku isti podatki pokažejo skromno vročo roko. Človek se lahko ogreje; ruletno kolo ne more biti v formi. Nekateri igralci hkrati verjamejo oboje: da niz traja, dokler ni »predolg«, nato pa se konča. Na poštenem ruletnem kolesu ima vsaka različica enako pričakovano vrednostmatematikaPričakovana vrednostPovprečni izid na stavo na dolgi rok. −1/37 vložka za vsako standardno evropsko stavo.Preberi v celoti → kot izbira barve z metom kovanca: −2,70% vložka.
Pri pravi mizi
Croson in Sundali (2005) sta pregledala 18 ur varnostnega videa ene mize z dvojno ničloruletno koloNičlaEn sam zeleni žepek, ki ga ne pokrije nobena stava z enakim izplačilom, ducat ali stolpec; vir prednosti hiše. Tudi: ena ničla, 0.Preberi v celoti → v veliki igralnici v Renu: 139 igralcev je položilo 24.131 stav. Pri stavah z enakim izplačilomstavaStava z enakim izplačilomRdeče/črno, liho/sodo, visoko/nizko. 18 številk, izplača 1:1.Preberi v celoti → so bili igralci približno enakomerno razdeljeni med sledenje kratkim nizom in stavljanje proti njim. Po petih enakih izidih zapored so se nagibali proti nizu, po šestih ali več pa je bilo 85% njihovih stav na drugo stran. Isti igralci so vročo roko pripisovali sebi: po dobitku na številkah so pri naslednjem vrtljaju v povprečju pokrili 13,6 številk, po izgubi pa 9,2. Njihovo ruletno kolo ni kazalo znakov pristranskosti, zato nič od tega ni spremenilo pričakovanj nikogar od njih.
Zunaj igralnice
Ista težnja se pojavi tam, kjer se sprejemajo resnične odločitve. Clotfelter in Cook (1993) sta spremljala dnevno igro številk v Marylandu: denar, stavljen na številko, je takoj po njenem žrebu močno upadel in se vračal več mesecev, čeprav žreb nima spomina. Chen, Moskowitz in Shue (2016) so jo našli med strokovnjaki. Ameriški sodniki za azil so do 3,3 odstotne točke pogosteje zavrnili zadevo, če so prejšnjo odobrili. Bejzbolski sodniki so po dosojeni stavki za 1,5 točke redkeje dosodili naslednjo stavko, pri tesnih metih pa več kot dvakrat toliko. V terenskem poskusu s kreditnimi uradniki, plačanimi s pavšalom, se je tako obrnilo do 9% odločitev. Zadeve so prihajale v naključnem vrstnem redu, zato zadnja odločitev ni povedala ničesar o naslednji, prav tako kot zadnji vrtljaj ne pove ničesar o naslednjem.
Obrnjena zmota igralca
Filozof Ian Hacking (1987) je poimenoval tretjo različico. Nekdo vstopi v sobo, vidi, da par kock pokaže dvojno šestico, in sklepa, da sta bili že velikokrat vrženi. Vsak met ima enako verjetnost za dvojno šestico, prvi večera ali tisoči, zato prizor ne pove ničesar o tem, kako dolgo igra traja. Pri ruleti je to igralec, ki pride k tabli z osmimi rdečimi in sklene, da se je miza morala vrteti že več ur, da jih je ustvarila. Običajna zmota preteklost prebere v naslednji vrtljaj; ta redki prizor prebere v preteklost, ki je nihče ni videl.
Psiholog, ki je vanjo verjel
Zmota je imela tudi izobražene zagovornike. Nemški psiholog Karl Marbe je pregledal štiri registre s po 49.152 rojstvi, ugotovil, da je bil najdaljši niz dečkov ali deklic zapored dolg 17, in sklenil, da so dolgi nizi redkejši, kot dopušča naključje, zato niz poveča verjetnost drugega izida. Samo naključje pravi drugače: pri 196.608 rojstvih se niz 17 ali več pojavi približno štirikrat od petih. Marbe je našel natanko to, kako je videti naključno zaporedje. Epstein (2013) primer ponovno pove; Probability of Streaks podaja ruletno različico.
Kjer zmota ne velja
Če bi bilo ruletno kolo fizično pristransko, bi bili pretekli vrtljaji informativni, ker bi bili dokaz o žepkih in ne o sreči. To je predmet Laboratorija in za kakršen koli sklep zahteva tisoče vrtljajev enega določenega ruletnega kolesa. Pri nizu desetih rdečih na neznanem ruletnem kolesu je razlaga s pristranskostjo mnogo manj verjetna od naključja.
Vprašanja
Ne. Velja za vsak neodvisen ponavljajoč se dogodek: kocke, kovance, loterijske številke.
Deleža se bosta približala. Vaš rezultat bo še vedno približno −2,70% vloženega denarja.
Zakona povprečij ni. Obstaja zakon velikih števil in deluje z razredčenjem.
Zabava z matematiko
Najprej jih poskusite rešiti sami. Vsaka rešitev je zložena; odprite jo, ko boste pripravljeni.
Po 10 metih kovanec pokaže 7 glav in 3 pisma. Po 1.000 metih pokaže 517 glav in 483 pisem. Ali so pisma nadoknadila zaostanek?
Pokaži rešitev
Odgovor Ne. Razlika se je povečala s 4 na 34. Le razmerje se je približalo enakosti.
Razmerje glav in pisem je padlo s 7/3, približno 2,33, na 517/483, približno 1,07. Tu deluje zakon velikih številmatematikaZakon velikih številPovprečje neodvisnih izidov se z rastjo števila poskusov približuje pričakovani vrednosti.Preberi v celoti →.
Razlika med njima se je povečala s 4 na 34. Pri poštenem kovancu je razlika okoli 30 po 1.000 metih običajna: značilna razlika raste približno s kvadratnim korenom števila metov, medtem ko se razmerje ustalja proti 1.
Nič ni potegnilo pisem nazaj. Zgodnji presežek glav je naslednjih 990 metov razredčilo, ne popravilo.
Kovanec vrzite štirikrat in opazujte samo mete, ki takoj sledijo glavi. Kolikšen delež teh je glav? Izračunajte za vseh 16 možnih zaporedij in vzemite povprečje deležev. Ali je 50%?
Pokaži rešitev
Odgovor Ne. Je 17/42 oziroma približno 40,5%. Tako gledan se zdi, da po glavi pošten kovanec izgubi zagon.
Naštejte 16 zaporedij. Dve, PPPP in PPPG, med prvimi tremi meti nimata glave, zato nič ne sledi glavi; ostane jih 14.
V vsakem vzemite mete, ki sledijo glavi, in ugotovite delež glav. GGGG da 3 od 3. GGGP da 2 od 3. GPGP da 0 od 2. Po vseh 14: šest zaporedij da 0, štiri dajo 1/2, eno da 2/3 in tri dajo 1 (GGGG, PGGG in PPGG).
Seštejte deleže: 4 × 1/2 + 2/3 + 3 = 17/3. Delite s 14: 17/42 ≈ 40,5%.
Noben met ne daje prednosti pismu; vsak je 50–50. Nagib nastane, ker povprečite zaporedje za zaporedjem: zaporedje, polno glav, ima veliko metov za opazovanje, a šteje enkrat, enako kot zaporedje z eno samo glavo. Miller in Sanjurjo (2018) sta pokazala, da je študija vroče roke iz leta 1985 košarkarje merila na ta način, zato so bili igralci, ki so se zdeli nič bolj nizovni kot naključje, v resnici nekoliko bolj nizovni.
Stripovski predah
Razredčenje, ne popravljanje. Ruletno kolo ničesar ne dolguje.
Viri
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Schwartz, D. G. Roll the Bones: The History of Gambling.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.
- Croson, R. & Sundali, J. “The gambler’s fallacy and the hot hand: empirical data from casinos.”
- Chen, D. L., Moskowitz, T. J. & Shue, K. “Decision making under the gambler’s fallacy: evidence from asylum judges, loan officers, and baseball umpires.”
- Clotfelter, C. T. & Cook, P. J. “The ‘gambler’s fallacy’ in lottery play.”
- Gilovich, T., Vallone, R. & Tversky, A. “The hot hand in basketball: on the misperception of random sequences.”
- Miller, J. B. & Sanjurjo, A. “Surprised by the hot hand fallacy? A truth in the law of small numbers.”
- Hacking, I. “The inverse gambler’s fallacy: the argument from design. The anthropic principle applied to Wheeler universes.”