Dolgoročno približevanje: zakon velikih števil pri ruleti
Kako se povprečje ustali proti −2,70% in zakaj to traja dlje, kot nakazuje intuicija.
Povprečna izguba na vrtljaj se z nabiranjem vrtljajev približuje −1/37, s standardnim odklonom, ki se manjša kot 1/√N. Po 1.000 vrtljajih na rdeče je povprečje navadno znotraj ±3% pričakovane vrednosti.
Zakon velikih števil
Tekoče povprečje neodvisnih stav teži k pričakovani vrednostimatematikaPričakovana vrednostPovprečni izid na stavo na dolgi rok. −1/37 vložka za vsako standardno evropsko stavo.Preberi v celoti →. Po N vrtljajih stav z enakim neto izplačilom in eno enotodenarEnotaOsnovni vložek, s katerim dela sistem ali igralec. Progresije so opisane v enotah, zato veljajo pri kateri koli mizi.Preberi v celoti → ima povprečni rezultat na vrtljaj pričakovano vrednost −1/37 in standardni odklonmatematikaStandardni odklonKvadratni koren variance; značilna oddaljenost izida od pričakovane vrednosti.Preberi v celoti → 1/√N. Pri N = 100 je ta standardni odklon 10% vložka, skoraj štirikratnik signala 2,7%. Pri N = 1.000 je 3,2%, približno toliko kot signal. Pri N = 10.000 je 1% in prednost je jasno vidna. Prednost je nevidna v seansi in nedvoumna v letu.
Kaj konvergira in kaj ne
Povprečje na vrtljaj konvergira. Skupni rezultat ne: ko N raste, se oddaljuje od ničle, pričakovano za približno 2,7% N, s standardnim odklonom √N okoli tega. Igralec, ki je odigral 10.000 vrtljajev po $10, naj bi izgubil $2.700, z odstopanjem približno $1.000. Tekoči delež rdečihstavaRdečeStava z enakim izplačilom na 18 rdečih številk. Francosko: rouge.Preberi v celoti → se je že zdavnaj ustalil blizu 48,65%; tekoče stanje pa se ni ustalilo nikjer.
- p10 −$440
- p25 −$280
- mediana −$140
- p75 +$0
- p90 +$140
Zakaj intuicija odpove
Ljudje pričakujejo, da se prednost pokaže hitro, ker 2,70% zveni veliko, dolgi nizi pa naj bi se »izravnali«, ker zakon velikih številmatematikaZakon velikih številPovprečje neodvisnih izidov se z rastjo števila poskusov približuje pričakovani vrednosti.Preberi v celoti → pravi, da povprečja konvergirajo. Obe intuiciji napačno presodita velikost: prednost je majhna glede na variancomatematikaVariancaMera, kako široko so izidi razpršeni okoli pričakovane vrednosti. Visoka pri stavi na eno številko, nizka pri stavah z enakim izplačilom.Preberi v celoti → enega vrtljaja (σ = 1 enota ob EV = 0,027), zato potrebuje (1/0,027)² ≈ 1.400 vrtljajev, da postane vidna na ravni enega standardnega odklona. Konvergenca povprečja pa ničesar ne vleče nazaj k skupnemu rezultatu; le razredči pretekla nihanja.
Konvergenca pri drugih stavah
Pri stavah na eno številkostavaStava na eno številkoEna sama številka, izplača 35:1.Preberi v celoti → je σ = 5,84, zato isti izračun da (5,84/0,027)² ≈ 47.000 vrtljajev, da prednost doseže en standardni odklon. Igralec, ki stavi na eno številko, lahko igra leta, ne da bi v lastnih zapisih lahko ločil prednost od sreče, medtem ko plačuje natanko enakih 2,70% kot igralec na rdeče, ki jo vidi v nekaj tednih.
Pomen za preizkušanje sistemov
Kdorkoli trdi, da sistem deluje, bi to moral pokazati na 10.000 ali več vrtljajih z dokumentiranim pozitivnim povprečjem. Pri 1.000 vrtljajih je pozitivno povprečje pri stavi z enakim neto izplačilom ob ničelni hipotezi dogodek z verjetnostjo ena proti pet; pri 100 vrtljajih je skoraj met kovanca. Simulatorji na tej strani v sekundi izvedejo 2.000 seans vaše izbrane dolžine, kar je več dokazov kot katero koli pričevanje.
Formula
Vprašanja
VerjetnostmatematikaVerjetnostMožnost izida od 0 do 1 oziroma od 0% do 100%. Ena številka: 1/37 = 2,70%.Preberi v celoti →, da boste kdaj spet v plusu, z igranjem pada proti ničli. Skupni rezultat brez meje drsi navzdol.
Ne. Pomeni, da pretekla nihanja postanejo manjši delež večjega vzorca.
Pri stavi z enakim neto izplačilom približno 10.000, preden je prednost jasno vidna. Pri stavah na eno številko približno 50.000.
Zabava z matematiko
Najprej jih poskusite rešiti sami. Vsaka rešitev je zložena; odprite jo, ko boste pripravljeni.
Dva prijatelja odigrata 20 krogov poštene igrematematikaPoštena igraIgra, pri kateri nobena stran nima prednosti: vsaka stava ima pričakovano vrednost nič.Preberi v celoti →, met kovanca ali rdečostavaRdečeStava z enakim izplačilom na 18 rdečih številk. Francosko: rouge.Preberi v celoti → proti črnistavaČrnaStava z enakim izplačilom na 18 črnih številk. Francosko: noir.Preberi v celoti → z vrnjenimi ničlamiruletno koloNičlaEn sam zeleni žepek, ki ga ne pokrije nobena stava z enakim izplačilom, ducat ali stolpec; vir prednosti hiše. Tudi: ena ničla, 0.Preberi v celoti →, in vodita tekoči rezultat. Preštejte kroge, med katerimi je vsak v vodstvu (pri izenačenju šteje tisti, ki je vodil tik prej). Kaj je verjetnejše: da si vodstvo razdelita 10 krogov proti 10 ali da eden vodi vseh 20?
Pokaži rešitev
Odgovor Da eden od prijateljev vodi vseh 20 krogov, je veliko verjetneje: 35,2%, če štejemo oba, proti 6,1% za enakomerno razdelitev 10 proti 10.
Možnost, da je pošteni tekoči rezultat po 2k krogih izenačen, je u = C(2k, k)/2²ᵏ: 0,246 po 10 krogih in 0,176 po 20. Klasični rezultat, zakon arkusnega sinusa, pravi, da je možnost, da en imenovani prijatelj vodi natanko 2k od 2n krogov, u(2k) × u(2n − 2k).
Vodenje vseh 20: u(20) × u(0) = 0,176 za vsakega prijatelja, 35,2% za katerega koli. Enak delež: u(10) × u(10) = 0,246² = 6,1%, najmanj verjeten delež od vseh.
Zato se v pošteni igri vodstvo redko menja. Igralec, ki je bil v vodstvu ves večer ali ves večer v zaostanku, ni videl nič nenavadnega; to ne pove ničesar o ruletnem kolesu ali spretnosti. Epstein (2013) navaja enak zakon za daljše igre: polovico časa srečnejša stran vodi več kot 85% igre.
Stripovski predah
Povprečje konvergira. Skupni rezultat samo odide.
Viri
- Bernoulli, J. Ars Conjectandi.
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.