Verjetnost nizov pri ruleti
Dolgi nizi ene barve so pogosti. Za naslednji vrtljaj so tudi brez pomena.
Pet rdečih zapored: 2,7%. Deset: 0,074%. V seansi z 200 vrtljaji se niz šestih ene barve pojavi pogosteje kot ne.
Kako pogosto nastane niz izgub
Stava z enakim izplačilom na kolesu z eno ničlo izgubi 19 vrtljajev od 37. Vsaka vrstica prikazuje verjetnost, da se dani niz vrtljajev vsi končajo z izgubo, in koliko je igralec Martingala, ki po vsaki izgubi podvoji vložek, do takrat izgubil.
| zaporedne izgube | verjetnost | približno 1 od | doslej izgubljeno | naslednji vložek |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 51,4% | 2 | $1 | $2 |
| 2 | 26,4% | 4 | $3 | $4 |
| 3 | 13,5% | 7 | $7 | $8 |
| 4 | 7,0% | 14 | $15 | $16 |
| 5 | 3,6% | 28 | $31 | $32 |
| 6 | 1,8% | 55 | $63 | $64 |
| 7 | 0,94% | 106 | $127 | $128 |
| 8 | 0,48% | 207 | $255 | $256 |
| 9 | 0,25% | 403 | $511 | $512 |
| 10 | 0,13% | 784 | $1.023 | $1.024 |
| 11 | 0,065% | 1527 | $2.047 | $2.048 |
| 12 | 0,034% | 2974 | $4.095 | $4.096 |
| 13 | 0,017% | 5792 | $8.191 | $8.192 |
| 14 | 0,0089% | 11279 | $16.383 | $16.384 |
| 15 | 0,0046% | 21965 | $32.767 | $32.768 |
Verjetnost je 19/37, pomnoženo s samim seboj za vsako izgubo, šteto od enega danega vrtljaja. Dolga seansa ima veliko vrtljajev, kjer se tak niz lahko začne, zato je v enem večeru precej verjetnejši, kot nakazuje ena vrstica.
En sam niz
VerjetnostmatematikaVerjetnostMožnost izida od 0 do 1 oziroma od 0% do 100%. Ena številka: 1/37 = 2,70%.Preberi v celoti →, da bo naslednjih k vrtljajev vseh rdečihstavaRdečeStava z enakim izplačilom na 18 rdečih številk. Francosko: rouge.Preberi v celoti →, je (18/37)ᵏ. Dva: 23,7%. Pet: 2,7%. Deset: 0,074%, približno 1 proti 1.350. Dvajset: 1 proti 1,8 milijona. Šestindvajset, rekord Monte Carla: 1 proti 137 milijonom. To so verjetnosti določenega niza, ki se začne pri določenem vrtljaju, česar skoraj nihče v resnici ne sprašuje.
V seansi
Vprašanje, ki ga ljudje mislijo, je: »Ali se bo nekje v moji seansi pojavil niz k?« Odgovor je precej večji od (18/37)ᵏ, ker seansa z 200 vrtljaji ponuja skoraj 200 mest, kjer se lahko niz začne. Niz šestih ali več enake barve, rdeče ali črnestavaČrnaStava z enakim izplačilom na 18 črnih številk. Francosko: noir.Preberi v celoti →, se v seansi z 200 vrtljaji pojavi približno v 94% primerov; osem ali več v približno 47%; deset ali več v približno 14%. Če barvo določite vnaprej, verjetnosti padejo na približno 75%, 27% in 7%. Igralec, ki sedi ves večer, bo dolge nize videl vsak večer.
Zakaj je Martingale pomemben
Vsaka negativna progresijastrategijaProgresijaVsako pravilo, ki spremeni vložek glede na prejšnje izide. Negativne progresije ga povečajo po izgubah, pozitivne po zmagah.Preberi v celoti → ima dolžino niza, ki jo zlomi: šest izgub z osnovnim vložkom $10 in omejitvijo $500, deset pri FibonaccijustrategijaFibonacciProgresija po zaporedju 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13…: po izgubi en korak naprej, po zmagi dva koraka nazaj.Preberi v celoti →, pet pri potrojevanju na ducatestavaDucat1–12, 13–24 ali 25–36, izplača 2:1.Preberi v celoti →. Verjetnost niza šestih izgub pri stavah z enakim izplačilom je (19/37)⁶ ≈ 1,8% na poskus, seansa z 200 vrtljaji pa vsebuje morda 100 poskusov, zato se zlom pri taki dolžini zgodi približno v štirih seansah od petih. Verjetnost nizov pri ruleti je razlog, da prepad ni redek.
Vroče in hladne številke
Ista aritmetika velja za stave na eno številkostavaStava na eno številkoEna sama številka, izplača 35:1.Preberi v celoti →. Pri 300 vrtljajih je pričakovano število zadetkov na številko 8,1; standardni odklonmatematikaStandardni odklonKvadratni koren variance; značilna oddaljenost izida od pričakovane vrednosti.Preberi v celoti → je približno 2,8. Neka številka bo vsakič samo po naključju pokazala 15 zadetkov, druga pa 2. Tabla izidov, ki poudarja »vroče« številke, poudarja vrh normalne porazdelitve. Laboratorij pojasnjuje, koliko vrtljajev je potrebnih, preden vroča številkamitVroča številkaŠtevilka, ki se je nedavno pojavila pogosteje od pričakovanega. Na poštenem ruletnem kolesu ničesar ne napoveduje.Preberi v celoti → karkoli pomeni (tisoče, z enega določenega ruletnega kolesa).
Bistvo je neodvisnost
Niz desetih rdečih ne naredi črne verjetnejše niti ne naredi rdeče verjetnejše. Obe sta 18/37. Nizi so lastnost naključnih zaporedij in sumljiva bi bila njihova odsotnost: zaporedje 200 vrtljajev brez niza, daljšega od štirih, bi bilo precej močnejši dokaz poseganja kot zaporedje z nizom dvanajstih.
Formula
Vprašanja
Znameniti niz je 26 črnih v Monte Carlu 18. avgusta 1913. Leta 1943 so v ameriški igralnici poročali o 32 rdečih zapored. Oboje je skladno z naključjem glede na število vrtljajev, ki jih igralnice izvedejo.
V obeh primerih je 18/37. Stavite, kar določa vaš načrt, ali ničesar.
Ne. Pristranskost se pokaže tako, da nekateri žepkiopremaŽepekEden od 37 oštevilčenih predelkov na rotorju. Tudi: reža, skodelica.Preberi v celoti → v tisočih vrtljajev prihajajo pogosteje, ne kot nizi ene barve.
Zabava z matematiko
Najprej jih poskusite rešiti sami. Vsaka rešitev je zložena; odprite jo, ko boste pripravljeni.
Koliko vrtljajev evropskega ruletnega kolesa je v povprečju potrebnih, preden se vsaka od 37 številk pojavi vsaj enkrat?
Pokaži rešitev
Odgovor V povprečju približno 155 vrtljajev; mediana je 147.
Čakalno dobo za vsako novo številko izračunajte posebej. Prvi vrtljaj vedno pokaže novo številko. Ko ste videli 1 številko, je 36 žepkovopremaŽepekEden od 37 oštevilčenih predelkov na rotorju. Tudi: reža, skodelica.Preberi v celoti → od 37 novih, zato do naslednje nove številke v povprečju potrebujete 37/36 vrtljajev. Ko ste videli k številk, potrebujete 37/(37 − k).
Čakalne dobe seštejte: 37/37 + 37/36 + 37/35 + … + 37/1 = 37 × (1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/37) ≈ 37 × 4,20 = 155,5 vrtljaja.
Večina tega čakanja je na koncu. Na samo zadnjo številko je v povprečju treba čakati 37 vrtljajev, na zadnjih pet pa približno 85. Pri ameriškem kolesu enaka vsota da približno 161. To je problem zbiralca kuponov; enako povprečje sledi iz standardnega izračuna.
Koliko različnih številk naj pričakujete v 37 vrtljajih evropskega ruletnega kolesa, po en vrtljaj za vsak žepek?
Pokaži rešitev
Odgovor Približno 23,6. Približno tretjina številk, okoli 13, sploh ne pride.
Vzemite eno številko, denimo 17. Pri vsakem vrtljaju ne pride z možnostjo 36/37, zato v vseh 37 vrtljajih manjka z možnostjo (36/37)³⁷ ≈ 0,363.
Vsaka številka ima enako možnost, zato v povprečju manjka 37 × 0,363 ≈ 13,4 številk in pride 37 − 13,4 ≈ 23,6, mnoge dvakrat ali večkrat.
Igralci rulete temu pravijo zakon tretjin. To ni zakon, le aritmetika ponovitev: v nizu, dolgem kot ruletno kolo, približno tretjina številk izostane, pri poštenem kolesu kot pri vsakem drugem. Pri 38 žepkih je delež (37/38)³⁸ ≈ 0,363 tudi; pri velikem kolesu se ustali blizu 1/e ≈ 0,368.
Prijatelj vam pokaže dva seznama po 50 barv, rdečestavaRdečeStava z enakim izplačilom na 18 rdečih številk. Francosko: rouge.Preberi v celoti → ali črnestavaČrnaStava z enakim izplačilom na 18 črnih številk. Francosko: noir.Preberi v celoti →, za katera naj bi izvirala s kolesa brez ničelruletno koloNičlaEn sam zeleni žepek, ki ga ne pokrije nobena stava z enakim izplačilom, ducat ali stolpec; vir prednosti hiše. Tudi: ena ničla, 0.Preberi v celoti →. En seznam zamenja barvo 25-krat in njegov najdaljši niz je šest. Drugi zamenja barvo 35-krat in nikoli ne preseže treh. Kateri je izmišljen?
Pokaži rešitev
Odgovor Drugi. Pravi seznam zamenja barvo približno 24- ali 25-krat. Seznam s 35 menjavami se pojavi približno enkrat na 500 seznamov, seznam brez niza, daljšega od treh, pa približno dvakrat na 100.
Vsaka nova barva bodisi ponovi zadnjo bodisi se zamenja, v obeh primerih enako verjetno, zato 49 priložnosti za menjavo v povprečju da 24,5 menjave, z odklonom približno 3,5. Petintrideset je tri take korake nad povprečjem; pošteno kolo toliko menjav ustvari približno enkrat na 500 seznamov.
Tudi nizi kažejo isto. Pravi seznam 50 izidov ima niz štirih ali več v približno 98% primerov, njegov najdaljši niz pa je najpogosteje pet ali šest.
Ljudje, ki jih prosijo, naj si izmislijo naključni seznam, menjajo prepogosto, ker se jim niz štirih ali petih zdi vzorec. Taylor (2021) pokaže enak znak v seznamih metov kovanca, ki so si jih izmislili študenti: prava naključnost je bolj nizasta, kot ljudje pričakujejo.
Knjiga igralniških zgodb pripoveduje o igralcu, ki mu je njegova številka prišla petkrat zapored, in temu pravi rekord. Kako redko je to na evropskem ruletnem kolesu? In kako pogosto bi se moralo zgoditi nekje v eni igralnici z 20 mizami, ki se vrtijo po 40-krat na uro podnevi in ponoči?
Pokaži rešitev
Odgovor Imenovana številka petkrat zapored: 1 od 69 milijonov. Katera koli številka, ki po prvem pojavu pride še štirikrat: 1 od 1,87 milijona. Ta igralnica opravi približno 7 milijonov vrtljajev na leto, zato bi morala tak niz petih videti tri- ali štirikrat na leto.
Imenovana številka pri vsakem vrtljaju pride z možnostjo 1/37, zato je možnost petih zapored (1/37)⁵ = 1 od 69.343.957. Toda nihče številke ne imenuje vnaprej. Ne glede na to, katera pride najprej, jo morajo naslednji štirje vrtljaji ponoviti: (1/37)⁴ = 1 od 1.874.161.
20 miz × 40 vrtljajev × 24 ur × 365 dni = 7.008.000 vrtljajev na leto. Vsak vrtljaj lahko začne niz, zato igralnica pričakuje 7.008.000/1.874.161 ≈ 3,7 nizov petih na leto.
Uradni rekord te vrste ne obstaja in ga ne potrebujemo: redek dogodek za eno mizo je rutinski po vsej igralnici, zgodbe pa pripovedujejo o mizi, kjer se je zgodil. Zgodba pri Goldmanu (2007) je postavljena na kolo z dvojno ničlo, kjer sta podatka 1 od 79 milijonov in 1 od 2,09 milijona.
Stripovski predah
Dolgi nizi so videti kot naključje.
Viri
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.