Naloga: omejitev mize
Martingale po $10 pri mizi z omejitvijo $500. Kako pogosto se prekine, koliko izgubi ob prekinitvi in ali višja omejitev pomaga?
Prekine ga šest zaporednih izgub: 1,8% na cikel, približno 60% 100-vrtljajskih seans. Prekinitev stane $630. Dvig omejitve na $5.000 jo naredi redkejšo (0,25% na cikel) in večjo ($5.110). Pričakovana izguba na vloženi dolar je pri kateri koli omejitvi 2,70%.
Problem
Igralec stavi $10 na rdečestavaRdečeStava z enakim izplačilom na 18 rdečih številk. Francosko: rouge.Preberi v celoti → in po vsaki izgubi podvoji vložek, po zmagi pa začne znova. Največji vložek mize je $500. (a) Koliko zaporednih izgub prekine progresijostrategijaProgresijaVsako pravilo, ki spremeni vložek glede na prejšnje izide. Negativne progresije ga povečajo po izgubah, pozitivne po zmagah.Preberi v celoti →? (b) Kolikšna je verjetnostmatematikaVerjetnostMožnost izida od 0 do 1 oziroma od 0% do 100%. Ena številka: 1/37 = 2,70%.Preberi v celoti → na cikel? (c) Koliko se izgubi ob prekinitvi? (d) Kako omejitev $5.000 spremeni odgovore? (e) Ali katera omejitev naredi sistem dobičkonosen?
Rešitve (a)–(c)
Vložki: 10, 20, 40, 80, 160, 320. Sedmi bi bil 640 > 500, zato ga prekine šest izgub. (b) p(izguba) = 19/37 pri rdečem; (19/37)⁶ = 0,0183, približno 1,8% na cikel. Cikel v povprečju traja približno dva vrtljaja, zato ima 100-vrtljajska seansa približno 50 ciklov in p(vsaj ena prekinitev) ≈ 1 − 0,9817⁵⁰ ≈ 60%. (c) 10 + 20 + 40 + 80 + 160 + 320 = $630, kar je 63 osnovnih enotdenarEnotaOsnovni vložek, s katerim dela sistem ali igralec. Progresije so opisane v enotah, zato veljajo pri kateri koli mizi.Preberi v celoti →, v primerjavi z $10, ki jih je cikel poskušal dobiti.
Rešitev (d)
Pri $5.000: vložki do 2.560 so dovoljeni; deseti vložek, 5.120, je zavrnjen. Devet izgub ga prekine: (19/37)⁹ ≈ 0,25% na cikel, približno 11% 100-vrtljajskih seans. Izguba ob prekinitvi: 10 + 20 + … + 2.560 = $5.110. Igralec je kupil redkejšo katastrofo za ceno večje. V mnogih seansah je pričakovani strošek prekinitev p × izguba ≈ 0,0183 × 630 = $11,5 na cikel pri omejitvi $500 in 0,0025 × 5.110 = $12,8 pri $5.000; zaradi zaokroževanja je to ista številka in pomeni pričakovano izgubomatematikaPričakovana izgubaPričakovana vrednost, pomnožena s skupnim vloženim zneskom; povprečni znesek, izgubljen v seansi ali obdobju.Preberi v celoti → cikla minus $10, ki jih dobijo zmagovalni cikli.
Rešitev (e)
Ne. Pričakovana izguba na cikel = (pričakovani skupni vložek v ciklu) / 37 pri kateri koli omejitvi, ker je vsaka stava −1/37 same sebe. Omejitev odloči le, kako se izguba porazdeli med številne majhne zmage in redke velike izgube. Brez omejitve in z neskončnim igralnim proračunomdenarIgralni proračunSkupni znesek, namenjen igranju. Upravljanje igralnega proračuna pomeni odločanje, koliko ga tvegati pri posamezni stavi in seansi.Preberi v celoti → bi progresija »delovala« v smislu, da se ne bi nikoli prekinila, hkrati pa bi stavila neomejen znesek s pričakovano izgubo 2,70% tega neomejenega zneska. Omejitev mizemizaOmejitev mizeDovoljeni najmanjši in največji vložek. Največji vložek ustavi podvojevalne progresije.Preberi v celoti → ni tisto, kar preprečuje, da bi MartingalestrategijaMartingaleProgresija, ki po vsaki izgubi podvoji stavo. V razdelku Strategija je pojasnjeno, kaj naredi in česa ne.Preberi v celoti → deloval. To je računica.
Dve resnični mizi
Thorpov primer je miza z osnovnim vložkom $1 in največjim $1.000, kjer igralec upa, da bo za večerjo po dolar naenkrat dobil $30. Vložki 1, 2, 4 … 512 omogočajo deset stav, zato progresijo prekine deset zaporednih izgub: enkrat v 785 ciklih na evropskem ruletnem kolesu (enkrat v 613 na ameriškem) in stane $1.023. Vseh trideset ciklov uspe v 96,2% primerov. Drugih 3,8% izgubi približno $1.000, povprečni rezultat večera pa je −$9,17, kar je natanko 1/37 od $339, ki jih trideset ciklov v povprečju stavi. Miza z osnovnim vložkom $5 in največjim $2.000 ni nič drugačna: vložki do $1.280 omogočajo devet stav, prekinitev pa pride enkrat v 403 ciklih na evropskem ruletnem kolesu (enkrat v 323 na ameriškem) in stane $2.555.
Bogati igralec
Dajte progresiji globok igralni proračun namesto nizke omejitve: 1.000 enot, osnovni vložek ena enota in 1.000 vrtljajev na rdeče, pri čemer znova začnete z eno enoto, kadar je naslednja podvojitev večja od preostanka. Simulirali smo milijon takšnih večerov. Na evropskem ruletnem kolesu 52% konča v plusu, 21% jih izgubi vse, povprečni rezultat pa je −124 enot. Tudi v igri brez ničleruletno koloNičlaEn sam zeleni žepek, ki ga ne pokrije nobena stava z enakim izplačilom, ducat ali stolpec; vir prednosti hiše. Tudi: ena ničla, 0.Preberi v celoti →, kjer je vsaka stava poštena, bi jih le približno 60% končalo v plusu. Običajen večer je majhna zmaga; povprečje plačajo večeri, ki se končajo pri ničli.
Nauk
Igralnice postavljajo omejitve, da omejijo lastno variancomatematikaVariancaMera, kako široko so izidi razpršeni okoli pričakovane vrednosti. Visoka pri stavi na eno številko, nizka pri stavah z enakim izplačilom.Preberi v celoti →, ne da premagajo sisteme. Premaganje Martingala je stranski učinek, ki ga z veseljem sprejmejo, računica pa bi ga premagala tako ali tako. Igralec, ki misli, da je omejitev težava, je našel pečino in jo zamenjal za pobočje.
Formula
Vprašanja
Omogoči vam preživeti do višje omejitve, kjer je prekinitev redkejša in večja. Pričakovana izguba na dolar ostane nespremenjena.
Vložki 10, 30, 70, 150, 310: omejitev $500 je dosežena po petih izgubah, prekinitev pa stane $570. Istih 2,70%.
Da en igralec ne more staviti več, kot lahko igralnica udobno izplača iz svoje rezerve. Upravljanje variance.
Zabava z matematiko
Najprej jih poskusite rešiti sami. Vsaka rešitev je zložena; odprite jo, ko boste pripravljeni.
Pri MartingalustrategijaMartingaleProgresija, ki po vsaki izgubi podvoji stavo. V razdelku Strategija je pojasnjeno, kaj naredi in česa ne.Preberi v celoti → začnete s $100 na rdečostavaRdečeStava z enakim izplačilom na 18 rdečih številk. Francosko: rouge.Preberi v celoti → in si dovolite največ n stav v ciklu: po n zaporednih izgubah odnehate in začnete znova. Zapišite povprečni izid enega cikla kot formulo v n in ga izračunajte za 5, 6 in 7 stav na evropskem ruletnem kolesu.
Pokaži rešitev
Odgovor Povprečje je 100 × (1 − (38/37)ⁿ): −$14,26 za 5 stav, −$17,35 za 6 in −$20,52 za 7. Več dovoljenih stav povprečni cikel poslabša, ne izboljša.
Cikel prinese $100, razen če izgubi vseh n stav, kar se zgodi z možnostjo qⁿ, kjer je q = 19/37. Ko vse izgubijo, se vložki 100, 200 … 100 × 2ⁿ⁻¹ seštejejo v 100 × (2ⁿ − 1). Zato je povprečje 100 × (1 − qⁿ) − 100 × (2ⁿ − 1) × qⁿ = 100 × (1 − (2q)ⁿ).
Tu je 2q = 38/37, malo več kot 1, zato (2q)ⁿ raste z n in povprečje pada: n = 5 da 1,1426 in −$14,26; n = 6 da 1,1735 in −$17,35; n = 7 da 1,2052 in −$20,52. Daljša lestvica izgubi redkeje, v 3,6%, 1,8% in 0,9% ciklov, toda vsaka izguba je dvakrat večja in v vsakem ciklu gre čez mizo več denarja, pri 2,70% od vsake stave.
Na ameriškem ruletnem kolesu je 2q = 40/38, podatki pa so −$29,24, −$36,04 in −$43,20 (Taylor, 2021). V igri brez ničleruletno koloNičlaEn sam zeleni žepek, ki ga ne pokrije nobena stava z enakim izplačilom, ducat ali stolpec; vir prednosti hiše. Tudi: ena ničla, 0.Preberi v celoti → je 2q = 1 in vsak cikel ima povprečje natanko nič, ne glede na dolžino lestvice.
»Veliki Martingale« po izgubi vložek podvoji in doda eno enotodenarEnotaOsnovni vložek, s katerim dela sistem ali igralec. Progresije so opisane v enotah, zato veljajo pri kateri koli mizi.Preberi v celoti →, zato vložki tečejo 1, 3, 7, 15, 31 … Za koliko ste v plusu, če prva zmaga pride pri 1., 2., 3. ali k-ti stavi? Kako pogosto se pri enoti $10 in največ $500 cikel zlomi ter koliko v povprečju stane?
Pokaži rešitev
Odgovor Zmaga pri k-ti stavi vas pusti k enot v plusu: +1, +2, +3 in tako naprej. Pri $10 in $500 se cikel po petih izgubah zlomi pri 3,57% ciklov, za −$570. Cikel v povprečju izgubi $2,32 od vloženih $85,73: 2,70%.
k-ti vložek je 2ᵏ − 1 enot: 1, 3, 7, 15, 31. Prvih k − 1 vložkov sešteje 2ᵏ − 2 − (k − 1) = 2ᵏ − k − 1. Zmaga pri k-ti stavi izplača 2ᵏ − 1, zato se cikel konča z (2ᵏ − 1) − (2ᵏ − k − 1) = k enotami v plusu: po eno dodatno enoto za vsako izgubo pred zmago.
Pri enoti $10 so vložki $10, $30, $70, $150 in $310; naslednji, $630, preseže največ $500. Pet zaporednih izgub, (19/37)⁵ = 3,57%, stane 10 + 30 + 70 + 150 + 310 = $570.
Povprečje: zmage prinesejo $10 × k z možnostjo (19/37)ᵏ⁻¹ × 18/37 za k = 1 do 5, zlom pa vzame $570 z možnostjo 3,57%; skupaj −$2,32. Vloženi denar v povprečju znaša $85,73 na cikel in 2,32/85,73 = 2,70%. Običajni Martingale se pri isti mizi zlomi po šestih izgubah, pri 1,83% ciklov, za −$630 in izgubi $1,74 od vloženih $64,20: spet 2,70%.
Igralec načrtuje Martingale na rdečo s prvo stavo $1 pri mizi z omejitvijo $1.000, zato je možnih deset stav: $1, $2, $4 in tako naprej do $512. Kako pogosto cikel izgubi vseh deset, koliko časa to v povprečju traja in kako pogosto se tako konča večer z 200 stavami?
Pokaži rešitev
Odgovor Cikel izgubi vseh deset približno enkrat na 784, kar stane $1.023. To je v povprečju približno 1.600 stav, večer z 200 stavami pa v zid trči približno 11% časa. Cikel še vedno v povprečju izgubi $0,31 od vloženih $11,31: 2,70%.
Stava na rdečo izgubi z možnostjo 19/37, vključno z ničlo. Deset zapored: (19/37)¹⁰ ≈ 0,00128, približno 1 od 784. Vložki 1 + 2 + 4 + … + 512 seštejejo $1.023.
Cikel v povprečju traja 2,05 stave, zato 784 ciklov traja približno 1.600 stav. Če štejemo po vrtljajih, se niz desetih izgub nekje v 200 stavah pojavi v 11,3% primerov.
Med katastrofami igralec dobi $1 na cikel: približno $783 pred slabim ciklom, nato −$1.023, skupaj približno −$240 v celotnem obdobju. Na cikel: 1 × (1 − 0,00128) − 1.023 × 0,00128 ≈ −$0,31. Vložen denar na cikel: 1 + 2 × (19/37) + 4 × (19/37)² + … + 512 × (19/37)⁹ ≈ $11,31. In −0,31/11,31 = −2,70%.
Primerjajte prvo stavo $10 pri omejitvi $500, šest stav: do zidu pride enkrat na 55 ciklov, večer z 200 stavami pa ga sreča v 84% primerov. Višja omejitev naredi zlom redkejši in večji, ne cenejši.
Stripovski predah
Redkejše in večje pri vsaki omejitvi. Zmnožek je stalen.
Viri
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Thorp, E. O. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.